一文读懂矩阵的秩和行列式的意义

本篇文章3368字，读完约8分钟

雷锋。(公开号码:雷锋。张量是神经网络模型中最基本的运算单元，模型中的大部分数据处理都需要依靠张量作为载体来进行一系列的数学运算，然后得到结果。正如张量是高维矩阵的推广一样，本文将讨论秩和行列式的推广及其实际意义，它们是高维矩阵理论中最基本的知识点。本文作者夏最初发表在作者的个人博客上，由雷授权发表。

作为一名工科学生，我们已经使用线性代数的知识，如矩阵和行列式的时间很长。在这篇文章中，我想谈谈这些问题，即什么是面积，什么是高纬度地区的延伸。

1什么是区域？至于什么是面积，你可以先想想我们生活中常用的长*宽吗？这是真的吗？事实上，我们在这里讨论的面积实际上是欧几里德空:和平行四边形面积之间的几何面积的基本单位。平行四边形面积的定义是相邻边的边长的正弦乘以它们之间的角度。

然而，当我们面对一些更一般的情况和更高维的数学问题时，有必要扩展面积的定义。首先，我们应该注意面积是一个标量，它是两个相邻边的两个向量相乘的结果。因此，当我们来的时候，我们需要把区域看作一个映射关系。

这里的v可以认为是一个适当的量，v*v代表两个适当量的有序对，所以f自然是所需的面积。

现在我们将证明这个映射是一个线性映射。请坐好，坚持住:

现在让我们举一个最简单的例子。现在让我们假设第一个向量是(1.0)，第二个向量是(0，1)，也就是说，这两个向量是在X轴和Y轴上有正单位的单位向量，那么由这两个向量组成的四边形实际上是一个正方形。根据面积的定义，它实际上是*宽度=1*1=1

因此，我们可以得到:

现在让我们假设，如果第一个向量被缩放a倍，这个四边形的面积将变成相应的a倍，这个面积将变成原来的a倍。如果第二个向量被缩放b倍，该区域也将变成原来的ab倍。这表明面积映射与其他两个操作数的标量积成线性关系，如下所示:

事实上，区域映射也与其操作数(向量)的向量相加成线性关系。因为向量加法运算本身是线性的，所以它的面积映射实际上是线性映射。现在我想通过几个例子来解释线性映射加法的一些结果。

由两个共线矢量形成的平行四边形是一条线，因此面积为0。现在，假设面积映射是一个具有适当加法量的线性映射，我们有以下结果

事实上，这里实际上使用了一种理论:

也就是说，在交换彼此垂直的操作数的适当顺序之后，面积的映射变成负值。它是积极的还是消极的取决于你的定义。一般来说，我们把X轴的矢量放在前面，Y轴的矢量放在后面，从X轴到Y轴形成的平行四边形的面积一般被认为是一个正号。

2三维空室在三维空室的应用，我们一般用右手定则进行实验。如果X轴的平方是头，Y轴的正方向是尾。右手定则告诉我，纸面的向外方向是面积的正方向。如果

现在，我们假设由平面中任意两个向量形成的平行四边形的面积由公式表示:

在这里，不难看出所谓的面积实际上是2*2矩阵的行列式:

如下图所示:

实际上，我们的第一行甚至是我们的第一行向量(a，b)，第二行是第二行向量(c，d)，或者第一列是第一列向量(a，b)的秩变化，第二列自然是第二列向量(c，d)的秩变化。

在上述推理中，我们很容易发现行列式的值与行列式的向量是写成列向量的水平行还是垂直行向量无关。这就是为什么在计算行列式时，行和列的位置是相等的。我们还应该注意到，根据上面的分析，交换向量的顺序和面积是负号。这就是为什么，当列向量或行向量交换一次时，负号应该取一次的原因。此外，行列式的所有其他计算因素实际上都反映在面积制图的线性中。

因此，总而言之，行列式本身实际上是面积形式的推广，面积实际上是由给定一组基的n个向量形成的n维所定义的广义四边形的体积，这实际上是行列式本质的一种含义。

4行列式的推广根据上述结论，我们可以很容易地推广到三维体积的计算:

这里，我们应该注意到行列式的定义实际上是每行不同列元素的乘积，而符号与所谓的逆序有关。什么是逆向虚拟？所谓逆序的几何意义是在指定了正方向之后(例如，从1，2，3，4，5开始的顺序...n被定义为正号)，当任意一对数字交换时，负号被取一次。我们已经在上面的面积函数中看到了这个性质。事实上，体积，更高维的广义体积，也有一个积极的方向，但很难用右手法则(和交叉乘法)来生动地说明它。右手定则的局限性也是将高维区域推广到行列式表达式的动机之一。

事实上，我们称之为反对称。这时，如果你善于思考，你会想为什么要取不同行和列的元素的乘积。因为如果任何两个元素在同一行和同一列中，它们会交换它们的列指示符，并且乘积不变，但符号相反。因此，乘积必须为0，这是它没有反映在行列式值中的原因之一。

事实上，行列式的定义相当复杂，它实际上来自于大面积映射的反对称。事实上，区域映射是二维的。通过任意地将二维展开到多维，我们实际上可以发现R维的形式与R * R的行列式的形式完全一致.

事实上，在这里，我们可以用不同的维度来概括事物。二维表示平面中的面积，三维实际上是三维空中的体积，四维实际上是四维空.中的超体积等等。在上述推理中，我们发现

我们知道许多关于矩阵的行列式和逆矩阵的定理，如行列式为0的矩阵，不可逆，行列式为非0的矩阵，可逆性。这时，我们不禁要问，代表面积的行列式是如何与线性变化的可逆性相结合的。

这时，我们应该理解线性变化的几何意义。现在让我声明:

如果我们以列向量的形式在空之间写一组线性独立的向量，那么它们的n维体的体积不是零。根据上述分析，其值由行列式给出。通过线性变换A对向量进行变换后，新的向量形式如下:

注意，a是n*n的矩阵，向量是列向量。

在变换之前，N维物体的体积是:

变换后，N维体的体积为(注意，第二个等式实际上解释了几何意义如何定义矩阵乘法，即n*n矩阵A与由N个列向量组成的另一个n*n矩阵的乘法):

如果A的行列式不为零，就意味着经过这种变换后，N维物体的体积不为零。结合线性独立性和体积的性质，我们可以说:

如果a的行列式不为零，那么a可以将一组线性独立向量映射成一组新的线性独立向量；a是可逆的(一对一映射，保真映射，内核为{0})

如果A的行列式为零，那么A将把一组线性独立的向量映射成一组线性相关的向量

如果A的行列式为负，A将改变原始N维体积的方向。

从线性无关到线性相关，一些信息丢失了(如折叠成共线或共面)，所以这种转换显然是不可逆的。线性与否直接关系到所构造的N维物体的体积，而这个体积值又与A的行列式有关。因此，我们建立了A的行列式与其可逆性之间的几何关系。

例如，我们假设A是一个三维矩阵。如果在映射之前有一组三个线性独立的向量，我们知道它们的展开体积不是0；映射后，它们对应的新向量也可以形成一个平行六面体，所以这个平行六面体的体积是原始体积乘以a的行列式。

很明显，如果A的行列式为0，变换后的新“平行六面体”的体积必然为0。根据上述结论，我们得到:变换后的新向量集是线性相关的。

结论:

线性变换A的行列式是否为零表示其映射的保真度，即一组线性独立的向量是否可以变换成另一组保持独立的向量。

6级。然而，有时，虽然行列式a不能线性独立于空数最大的一组向量，但它可以保证一组几个向量是线性独立的。这个数向量通常小于线性空之间的维数，这个数称为线性变换a的秩

例如，矩阵A的秩为2和3*3，因为秩小于3，那么任何三维六面体的体积都将变为0，并使一个面退化，但是在变换后仍然有一个面积非零的面。

因此，所谓线性变换的秩只不过是保持变化后非零体积的几何形状的最大尺寸。

通过理解上述秩、行列式和可逆性的几何意义，我们可以任意构造一个线性变化的A，这样它既可以保留所有的几何，也可以把它的维数缩减为具有特定维数和结构的几何，并把它压缩为具有较低维数的几何，因此它可以被看作是一个“维数缩减的打击”

高维推理，我希望有兴趣的朋友可以自己证明，我可以对下面我不明白的问题进行评论。我希望能和你多交流，谢谢你的建议。

雷锋。com相关阅读:

Openblas项目和矩阵乘法优化|人工智能研究所

机器学习算法在自动驾驶领域的应用！

开发者特别会议|英伟达深度学习学院现场授课

英伟达dli高级工程师现场指导，理论联系实际，深入学习！

课程链接:mooc.ai/course/90

雷锋文章版权所有。严禁擅自转载。详情请参考转载说明。